ESTADISTICA

QUE  ES LA ESTADÍSTICA?

La Estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo, la estadística es más que eso, es decir, es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.

Distribución normal

Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta elcontrol de calidad. Se usa para la toma de decisiones en áreas de negocios o instituciones gubernamentales.

La estadística se divide en dos grandes áreas:

·         La estadística descriptiva, se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, gráfico circular, entre otros.

·         La estadística inferencial, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de lapoblación bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de unas características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo yminería de datos.

EL CERO ES UN NUMERO O NO?

El cero (0) es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor; colocado a la izquierda, no lo modifica.

Utilizándolo como número, se pueden realizar con él operaciones algebraicas: sumas, restas, multiplicaciones, etc. Pero, por ser la expresión del valor nulo (nada, nadie, ninguno...), puede dar lugar a expresiones indeterminadas o que carecen de sentido.

Es el elemento del conjunto de los números enteros ( Z) que sigue al −1 y precede al 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales (N) ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene ningún elemento. El número cero se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo):  .

El Impacto De La Estadística 

Casi todos los fenómenos, ya sean naturales o generados por la actividad humana, presentan variabilidad. La estadística es la ciencia que permite tomar decisiones en condiciones de variabilidad o de incertidumbre. Más específicamente, la estadística trata de la obtención, descripción y análisis de datos para hacer inferencias o llegar a conclusiones válidas acerca de la población o proceso que generó los datos, y en los cuales la incertidumbre y la variación están presentes.

La variedad de ámbitos en los que la estadística se aplica ha crecido de manera impresionante, en particular durante la segunda mitad del siglo pasado; éste fenómeno sigue en aumento debido "en gran medida" a la revolución computacional. Mientras que en el Siglo XIX y los primeros años del XX la mayoría de las aplicaciones se ubicaban en áreas como la astronomía, la estadística oficial, la agricultura y la estadística, a partir de la segunda mitad del Siglo XX el rango de aplicaciones cubre prácticamente todas las áreas del quehacer.

En la vida diaria... 

Los humanos aplicamos el pensamiento estadístico aún sin estar conscientes de ello; cuando se decide no ir al banco en día de quincena es porque "sabemos" que estará atestado. En realidad inferimos que habrá una gran cantidad de gente porque hemos observado repetidamente qué sucede justo el día de paga.

Igualmente, tomamos decisiones comparando dos o más ofertas cualesquiera entre sí, basados en lo que creemos que será un buen desempeño en futuro; cuando pensamos que va a llover "por observar indicios de lluvia" decidimos salir a la calle con chamarra y paraguas. Otro ejemplo de inferir.

 Cuando pronosticamos el comportamiento de algún fenómeno con base en nuestra experiencia, estamos aplicando el pensamiento estadístico en nuestra vida diaria; nuestra decisión se basa en información adquirida.

Por otra parte, la mayor parte de los bienes de consumo han sido producidos después de haber pasado una serie de pruebas de laboratorio, donde se ha usado la estadística para diseñar el producto y probar qué tan aptos y confiables son éstos para su consumo y uso cotidiano.

En la investigación científica... 

La estadística proporciona a un sinnúmero de científicos un método para definir cuál es la información relevante en sus proyectos de investigación, así como para diseñar la forma para obtener, organizar y analizar los datos que se obtienen a través de ejercicios característicos del método científico, como la observación y la experimentación.

De igual forma, la validez de un resultado debe ser comprobada, por ejemplo a través de la repetición de un experimento o fenómeno, y la estadística aporta elementos para definir qué tanto pueden variar los resultados obtenidos entre un suceso y otro. En particular, cuando los datos indican una posible diferencia bajo condiciones diferentes, para el científico es crítico conocer si dicha diferencia es real o si se debe a meras fluctuaciones naturales del fenómeno bajo estudio.

 Gracias a la llamada "inferencia estadística", podemos considerar que las características de una población bajo estudio (por ejemplo la población expuesta y susceptible a una enfermedad infecciosa, o todos los objetos fabricados con un material específico) se pueden establecer conociendo las características de una fracción de esa población "a la que se denomina muestra".

En la industria...

La estadística se ha utilizado amplia mente en los procesos industriales, desde las etapas del diseño de un producto hasta su fabricación; desde el estudio de las necesidades que tiene el mercado, como el diseño de instalaciones y procesos de fabricación, hasta los hábitos de compra del consumidor, estableciendo las características mínimas de sus productos y más allá de ello: para mantener y eventualmente aumentar la calidad y el valor que se percibe de ellos.

 Para la industria en general, cumplir con las expectativas de sus clientes es una condición indispensable para sobrevivir en un mundo de competencia abierta. De tal forma, la estadística se utiliza para asegurar que un producto no sólo cumple con sus características básicas (color, forma, tamaño, sabor, etcétera) sino que el producto llegará al consumidor a tiempo y a un precio competitivo. Esto implica que toda la cadena esté bajo control y sea predecible. Trabajando en esas condiciones, diversas empresas manufactureras han podido entender los factores tanto endógenos como exógenos que les afectan y en qué grado pueden hacerlo, evaluando la posibilidad de cumplir o no con objetivos y metas trazados e implementando medidas de prevención y contingencia ante estos factores. 

En las tecnologías de la información...

En la Internet han surgido y siguen surgiendo problemas retadores que involucran la estadística. Muchos de ellos involucran el volumen de información que contiene y la diversidad de usos que se hace de la misma. A manera de ejemplo, están los motores de búsqueda o exploradores, donde cada búsqueda se utiliza para definir las preferencias de los usuarios, depurar sus criterios y ofrecer resultados "a medida".

Por otra parte, la estadística se usa para clasificar y agrupar datos en grandes cantidades de información. Entre otras cosas, la accesibilidad y facilidad de uso de cada dato dependen de una correcta clasificación. En el flujo de altos volúmenes de información, la estadística se ha usado para diseñar formas óptimas de transmitir grandes flujos de información con el mínimo de datos perdidos. Otros ámbitos son el procesamiento de señales, donde los contenidos se codifican para su transmisión y se decodifican para su interpretación con base en modelos estadísticos.

 Un ámbito en que la estadística es también usada con un alto impacto, es la seguridad informática, entre otras cosas para identificar correos no deseados, señales no confiables y destinos con altas probabilidades de representar amenazas a los sistemas de información de las organizaciones. 

En la administración pública...

El trabajo de organismos e instituciones públicas, en el mejor de los casos, parte del conocimiento que éstos tienen de la sociedad a la que atienden. De tal manera, las políticas públicas se definen con base en el conocimiento obtenido a través de estudios basados en la estadística. Muchos de ellos asumen el principio de que las características de una parte de la población son altamente similares en toda ella. Sin embargo, más allá de la descripción de una población, cobran valor los pronósticos de crecimiento demográfico, de las actividades humanas y hasta del comportamiento del medio ambiente y la disponibilidad de recursos naturales.

Uno de los ámbitos de impacto de la estadística, es la priorización de proyectos y políticas para la población, cuya efectividad y pertinencia se basa en información significativa y confiable. Otro más es la orientación de recursos humanos y económicos hacia la atención de problemas apremiantes, pudiendo detectar riesgos potenciales y "de esa manera" tomar medidas de prevención.

En música, por ejemplo, se ha utilizado la estadística como parte del método de composición, dando condiciones que generan diferentes posibilidades de sucesión al azar en la elección de los sonidos que componen una obra. 

PROBABILIDAD

La probabilidad es una medición numérica que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un evento ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de uno es casi seguro que ocurra.

P (a): nº de resultados en que ocurra a

Nº de resultados posibles

Tipos de sucesos

·         Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

Simbólicamente: p (A o B o...) = 1

·         No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si no cubren todos los posibles resultados.

·         Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma simultánea:

P(A y B) = 0 y p(A o B) = p(A) + p (B)

Ejemplo: hombres, mujeres

·         No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma simultánea:

P (A o B) = p (A) + p (B) ? p (A y B)

Ejemplo: hombres, ojos cafés

·         Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro :

P ( AI B ) = P ( A ); P ( BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B)

Ejemplo: sexo y color de ojos

·         Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro:

P ( AI B ) difiere de p (A); P ( BIA ) difiere de P(B);

Y P (A Y B)= P ( A ) P ( BIA )= P (B) P ( AI B )

Ejemplo: raza y color de ojos

LINEA DE TIEMPO DE LA ESTADÍSTICA

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas.

Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país.

Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos. El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality -Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres. Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad.

En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos.

El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de "interpretación" de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

La Estadística es una ciencia matemática que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica y se utiliza para describir, analizar e interpretar ciertas características de un fenómeno o conjunto de individuos llamado población.

LOS CONJUNTOS

Un conjunto es una colección o agrupación de objetos o elementos que responden a una misma categoría o grupo.

La clasificación de los conjuntos está fundamentada en el análisis de sus elementos o miembros, por ejemplo si no tiene miembros, el conjunto es vacío, si sus miembros son innumerables infinito, etc.

La clases de conjuntos son:

1. Conjunto finito
2. Conjunto infinito
3. Conjunto unitario
4. Conjunto vacío
5. Conjunto universal o referencial
6. Conjuntos disjuntos o disyuntos
7. Conjuntos equivalentes
8. Conjuntos iguales
9. Conjuntos homogéneos
10. Conjuntos hetereogeneos
11. Conjuntos congruentes
12. Conjuntos no congruentes

Conjunto Finito:

Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar.

Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que expresado por comprensión es:

A = {x/x son las letras del alfabeto castellano}

Conjunto Infinito:

Cuando los elementos o miembros no se pueden enumerar o contar, se considera como conjunto infinito.

Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:

B = {x/x son las estrellas del universo}

Conjunto Unitario:

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. Un ejemplo:

C = {luna}

Conjunto Vacío:

Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son inexistentes,ejemplos:

D = {x/x son perros con alas}

E = { }

Se considera el conjunto vacío como subconjunto de cualquier conjunto.

Conjunto Universal o Referencial:

Se llama así al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.

Por ejemplo, dados:

A = {1, 3, 5, 7}        B = {2, 3, 4}        C = { 6, 7, 8, 9}

El conjunto universal o referencial es:

U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Conjuntos disyuntos o disjuntos

Son aquellos conjuntos que no tienen ningún miembro o elemento en común. Otra forma de expresarlos es decir que la intersección de dos o más conjuntos disyuntos o disjuntos es el conjunto vacío

Por ejemplo los conjuntos B y C mencionados como ejemplos del conjunto universal son conjuntos disyuntos pues no tienen ningún miembro en común

Conjuntos equivalentes

Corresponde a los conjuntos con el mismo número cardinal, es decir cuando tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo:

A = {a, b, c, d}

B = {1, a, I, alpha}

Por lo tanto A y B son conjuntos equivalentes

Conjuntos iguales

Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos, estos conjuntos son iguales:

A = { 2, 4, 6, 8, 10}

B = { 4, 10, 2, 8, 6}

A y B son iguales porque contienen los mismos elementos. Es bueno anotar que en un conjunto no importa el orden en que se ubiquen, por eso el conjunto B es igual que el A

Conjuntos homogéneos

Cuando sus miembros o elementos que lo componen, pertenecen al mismo tipo o género. Por ejemplo un conjunto compuesto por letras únicamente, o por números, etc.

A = { a, l, m, p, r }

El conjunto es homogéneo pues todos sus miembros son letras.

Conjuntos heterogeneos

Son aquellos conjuntos compuestos por miembros de difefentes tipos, clases, géneros, etc.

B = { 1, a, prado, rojo}

Conjuntos congruentes

Dos conjuntos numéricos son congruentes cuando sus respectivos miembros se pueden poner en correspondencia uno a uno, de manera que la distancia entre ellos se mantenga:

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {7, 9, 11, 13, 15}

Así:

2  y 7;  4 y 9;  6 y 11;  8 y 13; 10 y 15 tienen todos ellos como distancia entre ellos5

Conjuntos no congruentes

Cuando entre dos conjuntos no se puede dar una correspondencia entre los miembros de los conjuntos, de manera que la distancia entre ellos no sea constante, los conjuntos se consideran no congruentes. Ejemplo:

A = {2, 4, 6, 8, 10 }

C = {5, 6, 7, 8, 9}

EJEMPLO DE CONJUNTOS

1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

Solución:

A U B = {1,2,3,4,6,8}

A U C = {1,2,3,4,5,6}

B U C = {2,4,6,3,5}

B U B = {2,4,6,8}

EJERCICIOS DEL CAPITULO CONJUNTOS

1.   

                    1.    Escribir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:

A= [x/x es un numero par menor que 18]

A= [ 2,4,6,8,10,12,14,16]

B=[u/u es un planeta del sistema solar]

B= [mercurio, Venus, tierra, Marte, Júpiter, Saturno,     Neptuno, Urano, Plutón]

2.        2.     Escribir por comprensión los siguientes conjuntos:

N=[1,2,3,4,5,6,7,8,9….]

N=[ números naturales]

T={ do, re, mi, fa, sol, la, si]

T=[ notas musicales]

3.             3.   Escribir dos conjuntos universales para cada uno de los siguientes conjuntos:

T=[a, e, i, o, u] Finito

T=[ a] unitario

4.         4.    Determinar los elementos de cada conjunto y escribir su clase:

El conjunto de los días de la semana

D=[ lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo]

Finito

El conjunto de los números que están formados por tres dígitos

N=[ 100,101,102,103,104,105,106,107…….999]

FINITO

5.          

               5.         U= [Números pares menores que 30]

            A=[4,12,18,20,24]

            B=[2,6,8,12,14,18,20,22]

            C=[6,8,10,12,14,18,26]

DETERMINAR POR EXTENSIÓN CON LOS CONJUNTOS ANTERIORES:

B-A = [2,6,8,14,22]

BUC=[2,6,8,10,12,14,16,18,20,22,26]

A n B^∁ =[4,24]

 A Δ B=[2,4,6,8,14,22,24]

(B-C) ^∁ n A={4,12,18,24]

(A n B) – C=[20]

(A n B n C) ^∁  =[2,4,6,8,10,14,16,20,22,24,26]

(AUC) ^∁ n (A-B)={4,24]

(C^∁ n A) - B=[4,24]

A Δ (B-C)={2,4,14,22,24]





CORRECCIÓN DE LA EVALUACIÓN BIMESTRAL

1. El complemento del conjunto P son las personas que?

D: todos menos programas  de películas

2. Las personas que les gusta las películas y los programas de cocine son?

D: 50

3: La operación (P-C)C equivalente a:

C: personas que ven algún programa menos  programas  de cocina

4: La operación NCN PC equivalente?

A: personas que ven solamente programas  de cocina

5: El total de personas encuestadas fueron?

D: 265

6: El total de personas encuestadas fueron?

B.100

7. La operación C M nos indica?

C: personas que no tienen carro ni casa

8: La operación (CNM) nos indica?

C: personas que tienen alguno de los dos  o ninguno

9: La operación C-Manos indica?

D: personas que solamente tienen casa

10. El total de personas que tienen auto, pero no casa son?

C: 28

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	D	C	A	D	B	C	C	D	C

Espacio muestral

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra  . Ejemplo: lanzar una moneda,lanzar dos dados

Ejemplo del espacio muestral

El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

También otro ejemplo sería el experimento de arrojar un dado y ver qué sale. En este caso, el espacio muetral es:

Sucesos

Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral    . Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.no se dan cuenta que esto es esditado

Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por    .

Ejemplo

En el ejemplo anterior, son subconjuntos de   :

Salir múltiplo de 5:           

Salir número primo:           

Salir mayor o igual que 10:         

 EXPERIMENTO ALEATORIO ESPACIO MUESTRAL

EJEMPLO

Se lanza un dado 12 veces y se obtienen los siguientes datos. Realizar la tabla de frecuencias.

clases	conteo	f	fr	%
1	0	0	0/20	0
2	0	0	0/20	0
3	0	0	0/20	0
4	4	4	4/20	20
5	2	2	2/20	10
6	3	3	3/20	15
7	3	3	3/20	15
8	3	3	3/20	15
9	1	1	1/20	5
10	2	2	2/20	10
11	2	2	2/20	10
12	0	0	0/20	0

TERCER PERIODO

CONTEO



Que es conteo?

Un conteo rápido o recuento rápido es una técnica estadística que se utiliza para estimar el posible resultado de una elección antes de que se den a conocer los resultados oficiales a través del recuento de la totalidad de votos emitidos.

Características

El conteo rápido es un ejercicio de registro de los datos sobre resultados de una elección en una muestra de centros de votación seleccionada conforme métodos probabilísticos.

Como resultado de estos ejercicios, es posible conocer con rapidez, dentro de cierto rango de precisión y confianza estadística, los resultados de una elección. La certeza estadística de estos ejercicios depende del tamaño y aleatoriedad de la muestra que se tome.

Los resultados de un conteo rápido pueden ser reportados como estimaciones puntuales o como rangos de estimación para la votación de cada contendiente.

Técnicas de Conteo

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.

Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

La Técnica de la Multiplicación

La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas.

En términos de fórmula

Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:

Número total de arreglos = m x n x o

Ejemplo:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

La Técnica de la Permutación

Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?

Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes: T D C D T C C D T T C D D C T C T D

Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles

La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

n P r = n!

(n – r )!

Donde:

n Pr es el número de permutaciones posible n es el número total de objetos r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6

(n – r )! ( 3 – 3 )! 1 

Ejemplo:

Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?

n P r = n! = 8! = 8! = 336

(n – r )! ( 8 – 3 )! 5! 

En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:

n Pr = nr

Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:

AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC

Usando la fórmula:

n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9

La Técnica de la Combinación

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n!

r! (n – r )!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )! 3! ( 7 – 3 )! 3! 4! 

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.